جشنواره نوجوان خوارزمی
همنهشتی مثلث ها در هندسه
در هندسه (Geometry)، دو شکل را همنهشت (congruent) می‌گویند اگر دارای شکل و اندازه یکسانی باشند. چرخش و دوران چنین شکل‌هایی باعث از بین رفتن همریختی و همنهشتی آنها نمی‌شود. در این بین همنهشتی مثلث در هندسه از اهمیت بیشتری برخوردار است.
تبدیل دوران (Rotation Transformation)
دوران یا چرخش، یک حرکت دایره‌ای از یک تصویر در اطراف یک مرکز یا نقطه مرکزی است. در تصویر زیر دوران یک شکل را مشاهده می‌کنید. همانطور که مشخص است فاصله بین نقطه‌ها و قالب شکل‌ها در کل، تغییری نیافته است ولی نحوه نمایش شکل تغییر کرده است.
تبدیل جابجایی (Translation Transformation)
تبدیل جابجایی، عملی است که طی آن تمامی نقطه‌ها به اندازه‌ای ثابت در جهتی خاص انتقال داده می‌شوند. تصویر زیر نشانگر یک تبدیل جابجایی است که طی یک محور مستقیم نقاط تغییر یافته‌اند.
تبدیل انعکاسی (Reflection Transformation)
یک تصویر تبدیل یافته توسط یک تبدیل انعکاسی (بازتابی)، تصویر آینه آن در محور یا صفحه انعکاس است. همانطور که در تصویر زیر دیده می‌شود، خطوط قرمز رنگ به عنوان محور در نظر گرفته شده و شکل قرمز، حول خط پایین، انعکاس داشته تا شکل سبز رنگ را پدیده آورد. همچنین انعکاس دوباره این شکل روی محور موازی با محور اولیه شکل آبی رنگ را پدیده آورده است که با شکل قرمز رنگ معادل است. این امر نشان می‌دهد استفاده از دوبار تبدیل انعکاسی روی یک شکل یکسان، دوباره شکل اولیه را بازسازی می‌کند.
تعریف همنهشتی هندسی
در هندسه بعضی اوقات اصطلاح رابطه همنهشتی با رابطه برابری یکسان در نظر گرفته می‌شود. در ادامه این موارد را بازگو می‌کنیم.
- دو قطعه خط همنهشت هستند، اگر دارای طول برابر باشند.
- دو زاویه همنهشت هستند، اگر اندازه برابر داشته باشند.
- دو دایره همنهشت هستند، اگر دارای قطر یکسانی باشند.
به این ترتیب می‌توان گفت دو شکل در هندسه همنهشت هستند اگر همه اجزای آنها برابر یا همنهشت باشند. این برابری و همنهشتی نه تنها برای زاویه‌ها و اضلاع دو شکل باید صدق کند، بلکه قطرها، محیط و مساحت آنها نیز باید یکسان باشد. از طرفی تشابه، می‌تواند به دو شکل مربوط باشد که مشابه بوده ولی یکسان و برابر نباشند. همانطور که در تصویر ۱، شکل اول و سوم مشابه یکدیگرند ولی برابر نیستند. این امر نشان می‌دهد که می‌توان همنهشتی را برای دو شکل مشابه در صورتی در نظر گرفت که همه اجزای آنها نیز برابر باشند.
همنهشتی مثلث ها
دو مثلث را همنهشت گویند، اگر اضلاع متناظر آنها دارای طول‌های یکسان و زاویه متناظر نیز با اندازه‌های برابر باشند. اگر مثلث ABC همنهشت با مثلث DEF باشد، از نماد زیر استفاده خواهیم کرد.
△ABC≅△DEF
در بسیاری از حالت‌ها، به جای بررسی همنهشتی همه اجزای مثلث‌ها، کافی است بعضی از خصوصیات اصلی آنها را مورد بررسی قرار دهیم. در فضای اقلیدسی می‌توان همنهشتی مثلث‌ها را به یکی از صورت‌های زیر نشان داد.
- دو ضلع و زاویه بین (Side-Angle-Side) یا SAS: اگر دو ضلع از مثلثی دارای طول‌های یکسانی باشند و زاویه بین آن دو نیز در دو مثلث یکسان باشد، آن دو مثلث را همنهشت می‌نامند.
همنهشتی مثلث با دو ضلع و زاویه بین
- سه ضلع (Side-Side-Side) یا SSS: اگر سه ضلع از مثلثی با سه ضلع از مثلثی دیگر برابر باشند، آن دو مثلث همنهشت خواهند بود.
همنهشتی دو مثلث با برابری سه ضلع
- دو زاویه و ضلع بین (Angle-Side-Angle) یا ASA: اگر دو زاویه و ضلع بین آنها در دو مثلث با یکدیگر برابر باشند، آن دو مثلث را همنشهت می‌نامند.
همنهشتی دو مثلث با برابری دو زاویه و ضلع بین
- دو زاویه و یک ضلع (Angle-Anlge-Side) یا AAS: فرض کنید دو زاویه از دو مثلث با یکدیگر برابرند. اگر ضلعی، غیر از ضلع میان این دو زاویه نیز با ضلع متناظرش در مثلث دیگر برابر باشد، آنگاه دو مثلث همنهشت خواهند بود.
همنهشتی دو مثلث با برابری دو زاویه و یک ضلع
نکته: از آنجایی که با برابر بودن دو زاویه در بین دو مثلث می‌توان نتیجه گرفت که سه زاویه مثلث‌ها نیز برابرند، می‌توان وضعیت AAS و ASA را یکسان در نظر گرفت. زیرا مجموع زاویه‌های هر مثلث برابر با ۱۸۰ درجه است، در نتیجه به راحتی با یکسان بودن دو زاویه در بین دو مثلث، به برابری زاویه سوم هم پی خواهیم برد. در چنین حالتی گاهی از اصطلاح AAcorrS استفاده می‌شود که در برخی موارد به آن همنهشتی با دو زاویه و یک ضلع نیز می‌گویند.
- وتر و یک ضلع در مثلث قائم‌الزاویه (Right-angle-Hypotenuse-Side) یا RHS: با توجه به اینکه در یک مثلث قائم‌الزاویه، زاویه ۹۰ درجه وجود دارد، با فرض برابری وتر و یک ضلع دیگر می‌توان براساس قانون فیثاغورس (Pythagorean Theorem)، نتیجه گرفت که ضلع سوم آنها نیز برابر است و در نتیجه طبق وضعیت SSS، دو مثلث همنهشت خواهند بود. از دیگر حالت‌های همنهشتی مثلث‌های قائم‌الزاویه می‌توان به حالت دو ضلع، یک ضلع و یک زاویه حاده، یک ضلع و ارتفاع وارد بر وتر اشاره کرد.
ولی باید توجه داشت که وجود رابطه تساوی سه زاویه در بین دو مثلث (Angle-Angle-Angle) یا AAA یا دو ضلع و یک زاویه به تنهایی (Side-Side-Angle) یا SSA، نمی‌تواند همنهشتی دو مثلث را نتیجه دهد.
نکته: برابری سه زاویه در بین دو مثلث، باعث همنهشتی نمی‌شود. در تصویر ۱، مثلث شماره ۱ با مثلث شماره ۳ مشابه بوده ولی همنهشت نیستند. زیرا سه زوایه در هر دو شکل برابر هستند ولی اضلاع متناظر در این مثلث‌ها با یکدیگر برابر نیست.
اصل همنهشتی مثلث ها در هندسه
طبق تعریف همنهشتی، شرط کافی برای آنکه دو شکل همنهشت باشند، آن است که اجزای آنها همنهشت باشند. عکس این حالت برای مثلث‌ها نیز برقرار است. به این معنی که اگر دو مثلث همنهشت باشند، آنگاه تمامی اجزای آنها نیز همنهشت خواهند بود.
به این اصل گاهی همنهشتی جزئی مثلث (CPCTC) یا Corresponding Parts of Congruent Triangles are Congruent می‌گویند.
این گزاره به صورت ریاضی به شکل زیر نوشته می‌شود.
△ABC≅△DEF
آنگاه
BC‾≅EF‾
AC‾≅DF‾
∠BAC≅∠EDF
∠ABC≅∠DEF
∠BCA≅∠EFD
همنهشتی‌های بالا بخصوص زمانی که به همنهشتی اجزای مثلث‌های برابر احتیاج داریم، ضروری است. برای مثال اگر بتوانیم نشان دهیم که دو مثلث بنابر حالت SSS، همنهشت هستند، می‌توانیم بنا به همنهشتی، برابری زاویه‌های هر دو مثلث را هم نتیجه بگیریم.
نکته: در اشکال چند وجهی (Polygon) این قضیه را می‌توان به کار برد. به این معنی که با همنهشتی بین دو چند وجهی، می‌توان به همنهشتی اجزای آنها رسید.
همنهشتی در چند وجهی یا چند ضلعی‌ها
برای اینکه دو چند ضلعی همنهشت باشند، باید در اولین گام، دارای تعداد اضلاع برابر باشند. به این ترتیب هر دو چند ضلعی دارای تعداد رئوس و قطرهای برابر هستند. دو چند ضلعی که دارای تعداد اضلاع برابر باشند، به شرطی همنهشت هستند که دارای توالی ضلع‌ها و زاویه‌های یکسان باشند (چه ساعت‌گرد چه پادساعت‌گرد). این امر به این معنی است که مثلا ضلعی که در هر دو شکل دارای طولی برابر با ۵ است، به زاویه‌های یکسانی نیز منتهی شود.
چند ضلعی‌های همنهشت را بوسیله مراحل زیر می‌توانید شناسایی کنید:
- اول، راس‌های مربوط به دو شکل را مطابقت داده و برچسب بزنید.
- دوم، یک خط از راس یکی از شکل‌ها به سمت راس مرتبط با شکل دیگر بکشید. شکل اول را توسط این بردار تبدیل کنید تا این دو راس بر یکدیگر منطبق شوند.
- سوم، شکل تبدیل یافته را در حول راس همسان دوران دهید تا ضلع‌های متناظر، بر یکدیگر منطبق شوند.
- چهارم، شکل چرخش یافته را حول ضلعی که منطبق کرده‌اید، منعکس (بازتاب) دهید تا زمانی که همه اضلاع و در نتیجه هر دو شکل بر هم منطبق شوند.
اگر پس از طی کردن این مراحل، شکل‌ها بر یکدیگر منطبق نشدند، آن دو چند ضلعی، همنهشت نیستند.
چند ضلعی‌های همنهشت
در تصویر ، سه شکل چهار ضلعی مشخص شده است که همگی همنهشت هستند. در تصویر مشخص است که همگی اشکال، محیطی یکسان و برابر با ۱۹ دارند. فرض کنید می‌خواهیم شکل نارنجی رنگ را بر شکل سبز رنگ منطبق کرده و نتیجه بگیریم که این دو شکل همنهشت هستند. مراحل زیر را طی خواهیم کرد.
- نقطه B را بر نقطه j منطبق می‌کنیم. زیرا هر دو زاویه یکسان (قائمه یا ۹۰ درجه) دارند.
- ضلع BC را می‌توان بر ضلع JK منطبق کرد.
- با چرخش آینه‌ای (انعکاسی) تصویر نارنجی رنگ، حول ضلع BC، دو تصویر منطبق خواهند شد. به این ترتیب واضح می‌شود که شکل نارنجی و سبز رنگ همنهشت هستند.
این عملیات را می‌توان برای شکل آبی رنگ نیز انجام داد و نتیجه گرفت که این چند ضلعی، با چند ضلعی نارنجی رنگ همنهشت است. پس مشخص است که چند ضلعی سبز رنگ هم با چند ضلعی آبی رنگ همنهشت خواهد بود. از این امر می‌توان نتیجه گرفت که رابطه همنهشتی، یک رابطه تراگذری (Transitive) است.
خلاصه و جمع‌بندی
در این نوشتار به بررسی همنهشتی (Congruent) و همنهشتی مثلث‌ها در هندسه پرداختیم. قضیه‌های مرتبط با این موضوع برای مثلث‌ها نیز بیان شد. همانطور که مشاهده کردید، عکس قضیه همنهشتی هم برای مثلث برقرار است.